Relativitetsteori

Addition av hastigheter

Genom en enkel derivering av uttrycken för de Lorentztransformerade lägena kan vi beräkna hur hastigheter adderar sig. Vi tänker oss för enkelhets skull att all rörelse sker längs \displaystyle x-axeln. Det transformerade läget för en partikel som funktion av tiden, är

\displaystyle x'(t') = -ct(v/c)\gamma + x(t)\gamma

(2.30)

Om vi deriverar \displaystyle x'(t') mede avseende på \displaystyle t' får vi den nya hastigheten \displaystyle u' som

\displaystyle u'= dx'(t')/dt' = (dx'(t')/dt) dt/dt' = \gamma (-v+u(t))(dt'/dt)^{-1}.

(2.31)

Nu är \displaystyle dt'/dt= \gamma(1 - (u(t)v/c^2)) där \displaystyle u(t)=dx(t)/dt. Om vi sätter in detta i uttrycket för \displaystyle u' får vi

Minustecknet framför \displaystyle v i resultatet ovan beror på att vi rör oss längs positiva \displaystyle x-axeln med hastigheten \displaystyle v. Om vi i stället rör oss i motsatt riktning blir hastighetsformel

\displaystyle u' = \frac{u+v}{1+uv/c^2}.

(2.33)

För små hastigheter \displaystyle v kan nämnaren approximeras till \displaystyle 1 , och vi finner vårt välbekanta resultat från Galileitransformationerna. I det andra extremfallet, att en hastighet, säg \displaystyle u, går mot ljushastigheten \displaystyle c, finner vi lätt att resultatet blir

\displaystyle u' \rightarrow \frac{c+v}{1+cv/c^2}=c.

(2.34)

Nämnaren ser alltså till att vi aldrig kan komma upp i högre hastighet än ljushastigheten. Även om vi låter bägge hastigheterna \displaystyle v och \displaystyle u gå mot \displaystyle c, så blir den resulterande hastigheten \displaystyle u' fortfarande inte större än \displaystyle c. Ljushastigheten är med andra ord en övre gräns för hastigheten.

Tvillingparadoxen

Konsekvenserna av den speciella relativitetsteorin är ofta oväntade och överraskande. Ibland uppstår vad man historisk kallat paradoxer. En paradox är en motsägelse, och när man studerar paradoxerna i den speciella relativitetsteorin närmare finner man att de alltid innefattar ett missförstånd, eller ett antagande som inte har sin grund i verkligheten. Ett sådant antagande är t.ex. att ljudhastigheten i en stav kan vara större än ljushastigheten i vakuum. Detta leder till paradoxer som när man t.ex. kör väldigt fort med en bil. Dess längd blir då Lorentzkontraherad och den borde kunna köras in i ett garage som är mindre än bilens längd i vila. Om man snabbt stänger dörrarna skulle man kunna fånga bilen i garaget. Å andra sidan vet vi att garagets längd kontrahetar i motsvarande grad för bilisten, så han eller hon ser genast att det inte går, och dessa utsagor strider mot varandra. Gå till webben för Nobelmuseet och läs mer om garaget och bilen och paradoxens upplösning i deras text om relativitetsteorin.

En annan paradox kallas tvillingparadoxen. Två tvillingar, Abel och Babel, födda exakt samtidigt (stackars mor!) befinner sig på en raketbas. Babel stiger in i en raket och färdas med hög hastighet \displaystyle v till en avlägsen stjärna. Där vänder han hastigt och lustigt om och reser tillbaks med samma hastighet \displaystyle v. Säg att resan tar lika lång tid, \displaystyle t år, mätt i Abels system i båda riktningarna. Efter \displaystyle 2t år kommer han tillbaks och träffar sin tvillingbror Abel. Eftersom hastighetens riktning inte spelar någon roll för tidsdilatationen, måste Abel på jorden anse att hans återvändande broder Babel är yngre än han själv är. Klockan i rymdskeppet har ju gått långsammare än Abels klocka på jorden på grund av tidsdilatiationen och tiden borde vara \displaystyle 2t\sqrt{1-v^2/c^2}.

Paradoxen uppstår när tvillingbrodern Babel i rymdskeppet med samma rätt anser sig kunna hävda att hans bror Abel borde vara yngre. Sett ur rymdskeppets synvinkel har ju jorden rört sig bort från honom och sedan åter tillbaks mot honom. Tvillingbrodern Abel på jorden borde alltså av samma skäl vara den yngre av dem. Voila! En motsägelse! Båda kan ju inte ha rätt om relativitetsteorin är korrekt!

Upplösningen av paradoxen består i att de inte bägge har befunnit sig i inertialsystem. Om vi bortser från gravitationen på jorden, har den tvillingbror som stannat kvar, Abel, idealt sett befunnit sig i vila hela tiden \displaystyle 2t. Brodern Babel i rymdskeppet har emellertid inte kunnat återvända om han inte accelererat rymdskeppet för att vända det. Man kan alltså avgöra vilket av de två systemen som accelerat. Resultatet är att brodern som kommer tillbaks är yngre.

På samma sätt är de kosmonauter som cirklat runt jorden i rymdstationen ISS under två år med hög hastighet några bråkdels sekunder yngre än vi här på jorden när de kommer tillbaks.