1.6 Inertialsystem och längdmätningar
Relativitetsteori
Innehåll:
Detta avsnitt handlar om hur man mäter längder i olika referenssystem.
Lärandemål:
Efter detta avsnitt ska du kunna:
- Förstå begreppen inertialsystem och vilosystem.
- Beräkna längden av en stav i olika referenssystem, som rör sig med konstant hastighet i förhållande till varandra, enligt Newtons mekanik.
Målet är att förstå betydelsen av att göra mätningarna av en sträckas ändpunkter samtidigt.
Eftersom det har stor betydelse vilket sorts system vi
använder när vi gör observationer är lämpligt att
införa några allmänna begrepp för att definiera vad vi
talat om.
Definition:
Med ett inertialsystem
menar vi ett referenssystem (koordinatsystem) där
partiklar som inte påverkas av några krafter rör sig
med konstant hastighet.
Definition:
Med vilosystemet för en partikel menar vi det inertialsystem där en fri partikel befinner sig i vila, dvs har hastigheten \displaystyle =0.
En följd av definitionerna ovan är att två olika inertialsystem rör sig med konstant hastighet relativt varandra.
Exempel
Antag att en person står stilla och ser på en bil som kör förbi med konstant hastighet. Om vi fäster ett koordinatsystem i personen är detta ett intertialsystem, eftersom både bilen och personen rör sig med konstant hastighet i detta koordinatsystem, och de inte påverkas av några yttre krafter. För personen är detta intertialsystem dessutom vilosystemet, eftersom personen befinner sig i vila i detta inrtialsystem.
Exempel
Antag att en person står stilla och ser på en båt som accelererar ut från en kaj. Om vi fäster ett koordinatsystem i båten är detta inte ett intertialsystem, eftersom personen inte rör sig med konstant hastighet koordinatsystemet, trots att personen inte påverkas av några yttre krafter.
Observera att det faktum att Newtons ekvationer gäller
i båda systemen inte betyder att observatörerna ser
samma sak! Observationerna, t.ex. för en partikel beror
även på randvillkoren, som i detta fall är partikelns
hastighet och läge vid en viss tidpunkt.
Dessa randvillkor är inte en del av fysikens lagar,
utan en tillfällighet, som beror av den enskilda
situationen. Storheten hos Newton var just att han
insåg att det generella, det universella om vi
så vill, inte låg i hastigheterna utan i
accelerationerna, andraderivatan av läget med avseende
på tiden, som var lika med krafterna dividerade med
massan hos kroppen. Hade han försökt arbeta med lagar
för hastigheterna hade det blivit mer komplicerat. Så
småningom lyckades man integrera Newtons ekvationer en
gång med avseende på tiden, och fann då att rörelsen
hade egenskapen att den totala energin och den totala
rörelsemängden är konstanta under rörelseförloppet, om
inga nya krafter dyker upp.
- Men hur är det nu med stavens längd? Kommer den att
vara oförändrad under Galileitransformationer?
Låt oss först definiera hur vi skall mäta längden på
ett föremål som rör sig.
Definition:
För att mäta längden på ett föremål som rör sig är det viktigt att mäta både framänden och bakänden samtidigt, dvs vid samma tidpunkt.
Om vi accepterar den definitionen är svaret på frågan
ja, och vi kan lätt se att så är fallet genom att sätta
in de nya koordinaterna. I Newtons mekanik är detta oproblematiskt eftesom tiden är densamma för alla observatörer. Som vi kommer att se gäller inte detta i Einsteins relativitetsteori.
Låt oss för enkelhets skull anta att vi rör oss i stavens längdriktning, t.ex. genom att lägga den från \displaystyle x_1 till \displaystyle x_2 längs positiva \displaystyle x-axeln. Vi kommer då att behöva transformera både \displaystyle x_1 och \displaystyle x_2, men inte de andra koordinaterna. Den transformerade längden blir då densamma. Det beror naturligtvis på att vi mäter stavens båda ändpunkter samtidigt, så att \displaystyle x'_1(t')-x'_2(t')=x_1(t)-vt - (x_2(t)-vt)=x_1(t)- x_2(t).
