1.9 Ljuset som elektromagnetiskt fenomen

Relativitetsteori

Hoppa till: navigering, sök

Innehåll:
Detta avsnitt handlar om ljusets egenskaper som elektromagnetiskt fenomen, speciellt som en elektromagnetisk vågrörelse.

Lärandemål:
Efter detta avsnitt ska du kunna:

  • Känna till hur ljusets hastighet är relaterad till grundkonstanterna i elektromagnetismen.
  • Förstå ljuset som ett specialfall av Maxwells teori för elektromagnetiska fenomen och vågrörelser.


Elektriska fenomen hade studerats av bl.a. Coulomb i Frankrike medan magnetiska fenomen hade påvisats ha samband med elektriska fenomen av Örstedt i Danmark, liksom av Ampère, Biot och Savart i Frankrike. Särskild vikt lades vi att bestämma dielektricitetskonstanten \displaystyle \epsilon_0 i vakuum liksom permeabilitetskonstanten \displaystyle \mu_0 , också i vakuum. Det var Weber och Kohlrausch i Tyskland som 1856 med stor noggranhet hade mätt upp värden för dessa storheter. Genom experiment av främst Michael Farady i England hade elektriska och magnetiska fenomen kommit att sammanföras till ett studium av elektromagentism. När James Clerk Maxwell under åren 1862 - 1865 ställde upp sina ekvationer för de elektriska och magnetiska fälten, upptäckte han att de kunde visas uppfylla en vågutbredningsekvation. Utbredningshastigheten \displaystyle c för den vågen var \displaystyle c= 1/\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}. Weber och Kohlrausch hade nu mätt detta värde mycket noggrannt till \displaystyle c= 3.1074 \times 10^8 m/s.


Om vi påminner oss något om dessa storheter, minns vi kanske att Coulombs lag lyder

\displaystyle F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{ q_1 q_2}{r^2}
(1.16)

där \displaystyle F är kraften i Newton mellan två laddningar \displaystyle q_1 och \displaystyle q_2 , och \displaystyle r är avståndet mellan dem. Värdet på konstanten framför uttrycket är

\displaystyle F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \approx 9 \times 10^9 N {\rm \cdot m^2/C^2}
(1.17)

Permeabilitetskonstanten \displaystyle \mu_0 definieras som

\displaystyle \mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} {\rm N} \cdot {\rm s}^2/{\rm C}^2.
(1.18)

Om vi nu beräknar uttrycket \displaystyle 1/\epsilon_0 \mu_0 finner vi

\displaystyle \frac{1}{\epsilon_0 \mu_0}\approx 9\times 10^{16} \; {\rm m}^2/ {\rm s}^2.
(1.19)

Vi ser här att detta värde är just kvadraten på ljushastigheten \displaystyle c.


Om vi kallar den magnetiska fältstyrkan i punkten \displaystyle \bar x vid tiden \displaystyle t för \displaystyle \bar B (\bar x, t), så uppfyller denna vågutbredningsekvationen (här angiven i en dimension)

\displaystyle \frac{\partial^2 \bar B( x,t)}{\partial x^2}= 
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \bar B(\bar x,t)}{\partial t^2}
(1.20)

där derivatorna här är de partiella derivatorna, dvs derivatorna av fälten med de andra variablerna fixa.


Den här ekvationen är emellertid inte invariant under Galileitransformationer. Om vi försöker transformera den kommer vi se att den inte går över till motsvarande ekvation i det primmade systemet, och därför inte beskriver vågutbredning med samma hastighet. Men eftersom detta är fallet, borde det vara möjligt att mäta skillnaden mellan ljusets utbredning i två system som rör sig i förhållande till varandra.

Exempel: (överkurs)

Visa att vågekvationen i en dimension har vågor som rör sig med hastigheten \displaystyle c som lösning.


Lösning
Lösning 1.9.1
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/relativitetsteori/index.php/1.9_Ljuset_som_elektromagnetiskt_fenomen