2.3 Längdkontraktion

Relativitetsteori

Hoppa till: navigering, sök

Innehåll:
I detta avsnitt studerar vi längdmätningar och Lorentzkontraktion.

Lärandemål:
Efter detta avsnitt ska du kunna:

  • Veta hur längder mäts och kunna beräkna vilket resultat olika observatörer får när de mäter längden på samma objekt.

Längdkontraktion (Lorentzkontraktion)


Låt avståndet mellan händelserna i \displaystyle x-led i \displaystyle S vara \displaystyle L, när vi har samtidighet i \displaystyle S. Med andra ord bestämmer vi i enlighet med vår definition av längdmätning ändpunkternas lägen samtidigt i \displaystyle S, och har \displaystyle \Delta x = L . Naturligtvis tar det en ändlig tid för ljuset att komma från de två ändpunkterna till observatören. Men denna tid tar vi hänsyn till och den är lätt att beräkna eftersom ljushastigheten alltid är densamma.

Einstein tänker sig att varje observatör synkroniserar ett lämpligt antal klockor och långsamt sprider ut dem i sitt vilosystem. Det är då alltid möjligt att tala om vad tiden är i varje punkt i rummet. Alternativt synkroniseras klockorna med ljussignaler.


Även om de två ändpunkterna är samtidiga i \displaystyle S är de då inte samtidiga i \displaystyle S'. Antag nu i stället att vi mäter avståndet mellan punkterna i \displaystyle S' på samma sätt som i \displaystyle S, dvs vi har samtidighet för \displaystyle x'_A och \displaystyle x'_B i \displaystyle S'. Vi kan då inte ha samtidighet för \displaystyle x_A och \displaystyle x_B i \displaystyle S. Vi sätter alltså nu i stället \displaystyle \Delta x'^0 = 0 och finner då ur ekvation (2.22) relationen

\displaystyle \Delta x^0\gamma = \Delta x (v/c)\gamma = 
L(v/c)\gamma.
(2.26)

Längden \displaystyle L' i \displaystyle S' bör då vara


\displaystyle L'= \Delta x' = -(v/c)\Delta x^0 \gamma + L \gamma = 
-(v/c)(v/c)L\gamma +L\gamma = L\sqrt{1-v^2/c^2},
(2.27)

dvs

\displaystyle L' = L\sqrt{1-v^2/c^2}.
(2.28)

Detta är den berömda formeln för Lorentzkontraktionen. Observera här att resultatet är direkt avhängigt av att vi bestämmer ändpunkterna samtidigt i det system vi befinner oss i. Resultatet är också helt symmetriskt med avseende på obervatörerna. Om båda har stavar med längden \displaystyle L i vila i var sina system, kommer båda att uppfatta att den andres stav är kortare när de rör sig relativt varandra. Resultatet beror heller inte på tecknet på \displaystyle v. Om vi rör oss i positiv eller negativ led spelar ingen roll.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/relativitetsteori/index.php/2.3_L%C3%A4ngdkontraktion