Relativitetsteori

Härledning av hastighetsaddition (version 2)

Som vi just sett gäller för en partikel med hastigheten \displaystyle u=pc^2/E att

\displaystyle p	transformeras som	\displaystyle x ,
och
\displaystyle E/c	transformeras som	\displaystyle ct .

Om vi nu ökar partikelns hastighet genom att byta referenssystem, och låta observatören \displaystyle O' röra sig med hastigheten \displaystyle v längs den negativa \displaystyle x-axeln, får vi

\displaystyle p' = \gamma (p + Ev/c^2)

(3.18)

\displaystyle E'/c = \gamma(E/c + pv/c),

(3.19)

Räknar vi nu ut den nya hastigheten \displaystyle u' enligt ekvation (3.13), finner vi

\displaystyle u'= \frac{p'c^2}{E'} = \frac{pc^2 +Ev}{E+pv}= \frac{pc^2/E + v}{1+pc^2v/Ec^2}= \frac{u+v}{1+uv/c^2},

(3.20)

vilket åter är additionsformeln för hastigheterna. Detta visar att vår formalism är konsistent Genom att använda den relativistiska rörelsemängden kan vi visa additionsteoremet för relativistiska hastigheter, som ju tidigare inte fungerade vi kollisioner, när vi antog att rörelsemängden är den orelativistiska \displaystyle m_0 v.