Relativitetsteori

Einsteins härledning av Lorentztransformationerna

Einstein härleder nu Lorentztranformationerna ur de två postulaten ovan på följande eleganta sätt.

Om en sfärisk ljusvåg utbreder sig från origo i systemet \displaystyle S, kan ekvationen för vågfrontens radie \displaystyle r skrivas

\displaystyle r=ct.

(2.1)

Låt oss nu sätta in uttrycket för radien \displaystyle r som \displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} . Om vi även kvadrerar ekvationens bägge led kan den skrivas

\displaystyle x^2+y^2+z^2 =c^2t^2.

(2.2)

Antag nu att vi befinner oss i ett annat inertialsystem \displaystyle S' som rör sig med hastigheten \displaystyle \bar v i förhållande till \displaystyle S och är sådant att det två koordinatsystemens origon sammanfaller vid tiden \displaystyle t=t'=0. Enligt Einsteins första postulat skall ekvationen för vågfronten ha motsvarande form i \displaystyle S':s system, dvs kunna skrivas

\displaystyle x'^2+y'^2+z'^2 =c'^2t'^2

(2.3)

där \displaystyle x',y',z' och \displaystyle t' är de nya koordinaterna och den nya tiden i \displaystyle S'. Konstanten \displaystyle c' är den nya ljushastigheten, men enligt Einsteins andra postulat måste vi ha \displaystyle c'=c. Ekvationen i \displaystyle S' blir då

\displaystyle x'^2+y'^2+z'^2 =c^2t'^2.

(2.4)

Det är nu praktiskt att införa en storhet som kallas intervallet \displaystyle s^2. Ett intervall defineras som uttrycket

\displaystyle s^2 = c^2t^2 - x^2-y^2-z^2.

(2.5)

Ibland skriver vi \displaystyle s^2(t,x,y,z,) för att klargöra vilka variablerna är. För en ljusstråle är uppenbarligen \displaystyle s^2=0 enligt ekvationerna ovan, och detta gäller för ljusstrålen i bägge systemen, dvs \displaystyle s^2(t,x,y,z)=s^2(t',x',y',z'). Man kan ganska lätt visa att de linjära reella transformationer som överför \displaystyle (t,x,y,z) i \displaystyle (t',x',y',z') och som lämnar intervallet invariant är just Lorentztransformationerna. Om vi för enkelhets skull låter \displaystyle S' röra sig längs positiva <pp:latex>x</pp:latex>-axeln i \displaystyle S, kan vi helt enkelt ansätta följande transformation:

\displaystyle x' = A x + B t,

(2.6)

\displaystyle y' = y,

(2.7)

\displaystyle z'= z,

(2.8)

\displaystyle t'= C x + D t.

(2.9)

Enkla räkningar ger nu efter insättning i \displaystyle S(x',y',z',t') att detta blir detsamma som \displaystyle s^2(x,y,z,t) om

\displaystyle A=D=1/\sqrt{1-v^2/c^2},

(2.10)

\displaystyle B=-v/\sqrt{1-v^2/c^2},

(2.11)

och

\displaystyle C =-v/(c^2\sqrt{1-v^2/c^2}).

(2.12)

Tecknet på \displaystyle v beror på i vilken riktning vi rör oss. Här har vi låtit \displaystyle S' röra sig med hastigheten \displaystyle v längs positiva \displaystyle x-axeln i \displaystyle S. En partikel i vila i origo \displaystyle x=0 i \displaystyle S rör sig då med den konstanta hastigheten \displaystyle x'/t' = B/D=-v i \displaystyle S' systemet längs negativa \displaystyle x'-axeln.

Lorentztransformationerna som linjära koordinattransformationer

Lorentztransformationerna blandar alltså tiden och rummet med varandra. Det är nu av flera skäl lämpligt att uppfatta att det inte är tiden \displaystyle t utan snarare \displaystyle ct som blandas med koordinatern. Uttrycket \displaystyle ct har dimensionen längd precis som \displaystyle x,y,z. Och eftersom \displaystyle c är en universell konstant kan vi uppfatta \displaystyle x^0=ct som en ny koordinat. Lorentztransformationerna uttryckta i \displaystyle (ct,x,y,z) blir då mycket enklare, nämligen

där vi infört beteckningen

\displaystyle \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.

(2.17)

Observera här att transformationskoefficienterna \displaystyle \gamma och \displaystyle (v/c)\gamma framför \displaystyle ct och \displaystyle x nu är dimensionslösa, vilket betyder att de nya koordinaterna är linjärkombinationer av de gamla. Transformationerna i ekvation (<a href=#lorentz2>2.13-16</a>) kan göras längs godtyckliga axlar om man bara byter \displaystyle x mot \displaystyle y eller \displaystyle z. Dessa transformationer, som bara handlar om hastighetstransformationer, brukar kallas standardtransformationer längs \displaystyle x-axeln, respektive övriga två axlar. Naturligtvis är intervallet \displaystyle s^2 även invariant under vanliga rotationer, eftersom dessa bevarar \displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. I fortsättningen kommer vi att skriva intervallet som \displaystyle s^2(ct,x,y,z), dvs som funktion av \displaystyle ct snarare än av \displaystyle t.

Om hastigheten \displaystyle v i uttrycket ovan är mycket mindre än \displaystyle c, kommer \displaystyle v/c vara \displaystyle \ll 1. Faktorn \displaystyle \gamma blir då \displaystyle \gamma \approx 1+{\cal O}(v^2/c^2). Om vi då bara tar med linjära termer i \displaystyle v/c övergår Lorentztransformationerna i

\displaystyle t' = t - xv/c^2

(2.18)

\displaystyle x' = -t v + x

(2.19)

\displaystyle y' = y,

(2.20)

\displaystyle z'= z.

(2.21)

För att den första termen i uttrycket för \displaystyle t', som vi igenkänner som Lorentz tidstransformation, skall vara mätbar, måste \displaystyle x vara mycket stort eftersom ljushastigheten \displaystyle c är så stor. Normalt kan vi därför försumma denna term, och Lorentztransformationen övergår i Galileitransformationen längs \displaystyle x-axeln, och \displaystyle t'=t.

Konsekvensen av dessa Lorentztransformationer är att det inte finns något absolut rum och ingen absolut tid, i Newtons anda. All rörlese är relativ. Om ett objekt rör sig bort från mig, kan jag med samma rätt hävda att det är jag som rör mig bort från objektet i motsatt riktning. Det finns ingen möjlighet att avgöra vilket som är fallet. Detta är Einsteins relativitetsprincip.

Det betyder också att om jag har ett objekt i vila, kan jag få det att röra sig med konstant hastighet, antingen genom att transformera objektet eller genom att byta intertialsystem.