Relativitetsteori
Vi vill lösa ekvationen
|
| \displaystyle s^2(t',x',y',z') = s^2(t,x,y,z).
|
|
|
|
Om vi sätter in ansatsen i (2.6-9) i vänsterledet får
vi
|
| \displaystyle s^2(t',x',y',z') =
c^2 (Cx + Dt)^2 - (Ax +Bt)^2 - y^2 - z^2
|
|
|
|
|
| \displaystyle \quad = c^2 (C^2 x^2 + D^2 t^2 + 2CDxt)
- A^2 x^2 - B^2 t^2 - 2ABxt - y^2 - z^2,
|
|
|
|
som ska vara lika med
\displaystyle
s^2(t,x,y,z) = c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2
.
Om vi identifierar koefficienterna framför
\displaystyle x^2, t^2 och
\displaystyle xt får vi ekvationerna
|
| \displaystyle c^2 C^2 - A^2 = -1
|
|
|
|
|
| \displaystyle c^2 D^2 - B^2 = c^2
|
|
|
|
|
| \displaystyle 2 c^2 CD - 2AB = 0
|
|
|
|
Om vi löser ut \displaystyle A och
\displaystyle B ur de två första
och sätter in i den tredje får vi
\displaystyle
D^2 = 1 + c^2 C^2
vilket ger
\displaystyle
A = \pm D
och
\displaystyle
B = \pm c^2 D
Låt nu systemet
\displaystyle S'
färdas med hastigheten
\displaystyle v
relativt \displaystyle S.
Ett föremål i vila i
\displaystyle S' rör sig
då med hastigheten
\displaystyle v
i \displaystyle S,
dvs,
|
| \displaystyle x' = 0 = Ax + Bt \Rightarrow x = -Bt/A = vt
|
|
|
|
Sätter vi in
\displaystyle B = -vA
i ekvationerna ovan ger detta
\displaystyle
c^4 C^2 = v^2 D^2 = v^2 (1+c^2 C^2)
och slutligen
|
| \displaystyle C^2 = \frac{v^2/c^4}{1-(v/c)^2} = \gamma^2 v^2/c^4
|
|
|
|
|
| \displaystyle B^2 = c^4 C^2 = \gamma^2 v^2
|
|
|
|
|
| \displaystyle A = D = -B/v = \gamma
|
|
|
|
(vi väljer lösningen med
\displaystyle A, D > 0)
vilket leder till (2.10-12).
