Relativitetsteori
Lärandemål:
Efter detta avsnitt ska du kunna:
- Kunna härleda den relativitstiska Dopplerförskjutningen hos en spektrallinje.
- Redogöra för sambandet mellan frekvens, vinkelfrekvens, energi, rörelsemängd och vågvektor hos fotoner.
Ljuset som vågrörelse
Enligt Maxwell är ljuset en elektromagnetisk
vågrörelse. En sådan kan skrivas som en sinusformad våg
med konstant amplitud. Låt oss betrakta den magnetiska
komponenten (det finns också en elektrisk komponent) av
ljuset i en rumsdimension, och ansätta vågrörelsen från
ekvation (1.20) som
|
| \displaystyle B(x,t) = B_0
\sin(2\pi (x/ \lambda - \nu t)),
|
|
| (3.23)
|
där \displaystyle \lambda är våglängden och
\displaystyle \nu frekvensen och \displaystyle B_0 är
en konstant amplitud. Om vi sätter in detta uttryck i
uttrycket för vågekvationen (1.20), där vi deriverar de två
variablerna \displaystyle x och \displaystyle t
oberoende av varandra, finner vi att
|
| \displaystyle ((1/\lambda)^2 - \nu^2/c^2)B(x,t)=0.
|
|
| (3.24)
|
För att detta skall vara uppfyllt för godtyckliga fält,
måste det gälla att
|
| \displaystyle \lambda^2 \nu^2 = c^2.
|
|
| (3.25)
|
Om vi försummar det negativa tecknet, finner vi
|
| \displaystyle \lambda \nu = c.
|
|
| (3.26)
|
Vinkelfrekvensen för vågen är \displaystyle \omega =
2\pi \nu . Ofta inför man den så kallade
vågvektorn \displaystyle k=2\pi/ \lambda .
Den relativistiska Dopplereffekten
Enligt Einsteins postulat skall en observatör i ett
annat inertialsystem, som rör sig med hastigheten
\displaystyle v i förhållande till det ursprungliga,
uppfatta vågrörelsen på samma sätt. Det kan bara ske om
uttrycken i sinusfunktionen är desamma i båda systemen,
eller med andra ord:
|
| \displaystyle kx-\omega t = k'x' -\omega' t'.
|
|
| (3.27)
|
Vi skriver nu om detta i termer av \displaystyle x^0
och \displaystyle x i stället, och får då
|
| \displaystyle x^0 \omega/c -kx = x'^0 \omega '/c - k'x' .
|
|
| (3.28)
|
Från vårt tidigare resonemang kring intervallet ser vi
att om \displaystyle ( \omega/c ,k) transformerar sig
som under
Lorentztransformationer, kommer denna likhet
automatiskt gälla. Med andra ord har vi
|
| \displaystyle \omega'/c = (\omega /c) \gamma - (v/c)k\gamma,
|
|
| (3.29)
|
|
| \displaystyle k' = -(v \omega /c^2)\gamma + k \gamma.
|
|
| (3.30)
|
Dessa relationer kan vi också härleda genom att direkt
sätt in uttrycken för \displaystyle x' och
\displaystyle t' ur ekvation (2.13-16), och
samla termerna framför \displaystyle x och
\displaystyle t.
Låt oss betrakta den första ekvationen ovan. Vi har
först att \displaystyle k=2\pi/\lambda = 2\pi \nu/c =
\omega/c enligt resultatet från vågekvationen
ovan. Med andra ord kan vi skriva
|
| \displaystyle \omega '/c =
(\omega/c) \gamma (1-v/c) = (\omega/c)
\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}.
|
|
| (3.31)
|
Detta är formeln för den relativistiska
Dopplerförskjutningen av vinkelfrekvensen. Vi kan
naturligtvis dividera bägge sidor med
\displaystyle 2\pi och få motsvarande samband för
frekvenserna. Vi kan också utnyttja att \displaystyle \omega
=2\pi c/\lambda och lösa ut relationen för
våglängdsförskjutningen.
Tecknet framför hastigheten \displaystyle v har
betydelse här. Om vi rör oss i andra riktningen, dvs
mot källan, får vi blåförskjutning. Rör vi oss som här
bort från källan, får vi
rödförskjutning. Kvadratrotsfaktorn efter
\displaystyle \omega är ju \displaystyle < 1 när
tecknet är negativt, men blir \displaystyle > 1 om
tecknet är positivt.
Ofta inför man den relativa rödförskjutningen
\displaystyle z som
|
| \displaystyle 1+z= \frac{\lambda'}{\lambda}=
\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}.
|
|
| (3.32)
|
Vi kan också undersöka vad som händer när hastigheten
\displaystyle v är liten i förhållande till
ljushastigheten \displaystyle c. Vi finner då att
formeln för våglängdsändringen förenklas:
|
| \displaystyle \lambda' =\lambda \frac{1+v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
\approx \lambda + \lambda v/c.
|
|
| (3.33)
|
Ofta skriver
man detta resultat som
|
| \displaystyle z = \frac{\lambda'-\lambda}{\lambda} = v/c,
|
|
| (3.34)
|
där \displaystyle z är den relativa röd- eller
blåförskjutningen.
Fotonernas energi och rörelsemängd
Vi kan nu använda ovanstående resultat för att ta reda
på fotonernas egenskaper. Fotonerna är ju det
elektromagentiska fältets kvanta.
Enligt Einsteins arbete om den fotoelektriska effekten,
också från 1905, föreslår han att fältets energi är
kvantiserad med energin \displaystyle E=h\nu = \hbar
\omega, där \displaystyle \hbar är Plancks
konstant delad med \displaystyle 2\pi, dvs
\displaystyle \hbar= h/2 \pi . Å andra sidan föreslår
fransmannen de Broglie senare att till våglängden
\displaystyle \lambda är associerad en rörelsemängd
\displaystyle p som är \displaystyle p=h/\lambda. Man
finner då att \displaystyle p=\hbar k. Eftersom
\displaystyle (\omega/c, k) transformerar sig som
\displaystyle (x^0, x) under Lorentztransformationer,
kan vi samtidigt dra slutsatsen att detta även gäller
om vi multiplicerar uttrycket med
\displaystyle \hbar. Det betyder då att \displaystyle (E/c,
p) transformerar sig på samma sätt som
\displaystyle (x^0, x), vilket vi redan tidigare sett.
Sätter vi in \displaystyle (E/c, p) i uttrycket för
intervallet, får vi
|
| \displaystyle s^2(E /c, \bar p)=s^2(\hbar \omega /c, \hbar \bar k)
=\hbar^2 s^2(\omega /c, \bar k)=h^2s^2(\nu /c,
1/\lambda)=0,
|
|
| (3.35)
|
där vi använt ekvation (3.25). Om vi
nu tolkar detta i termer av relativistisk kinematik,
måste vi dra slutsatsen att fotonernas vilomassa är
\displaystyle 0 , eftersom intervallet för fria
partiklar är lika med \displaystyle m_0^2c^2 enligt
ekvation (3.16). Fotonerna har
alltså ett ljuslikt intervall även med avseende på
energi och rörelsemängd.
