Relativitetsteori
Före kollisionen har antiprotonen hastigheten
\displaystyle v = 0.9999 c .
Dess rörelsemängd är då
\displaystyle p_p = m_p \gamma v
och dess energi
\displaystyle
E =\sqrt{(m_p c^2)^2 + (p_p c)^2}
i laboratoriesystemet.
Eftersom protonen är i vila blir den totala
rörelsemängden också
\displaystyle p_\mathrm{tot} = m_p \gamma v ,
medan den totala energin blir
\displaystyle E_\mathrm{tot} = m_p c^2 + \sqrt{(m_p c^2)^2 +
(p_p c)^2} .
Vid en kollision bevaras den totala rörelsemängden och
den totala energin. Dessa är dock inte
Lorentzinvarianta utan beror på vilken referensram vi
gör våra observationer i.
Det vi vill räkna ut är hur mycket energi
\displaystyle E_f
som finns
tillgänglig för att skapa en
\displaystyle Z_0
i dess vilosystem.
I vilosystemet efter kollisionen är
den totala rörelsemängden
\displaystyle p_f noll.
Låt oss nu utnyttja ekvation (3.38) som säger att
intervallet
\displaystyle s^2(E/c,p) är Lorentzinvariant.
Före kollisionen har vi (i labsystemet)
|
| \displaystyle s^2(E/c,p) = E_\mathrm{tot}^2/c^2 - p_\mathrm{tot}^2 =
\left( (m_p c^2)^2 + (m_p c^2)^2 + (p_p c)^2 + 2 m_p c^2 \sqrt{(m_p c^2)^2 +
(p_p c)^2} \right)/c^2 - p_p^2 =
|
|
|
|
|
| \displaystyle = 2 m_p^2 c^2 + 2 m_p \sqrt{(m_p c^2)^2 +
(p_p c)^2} = 2 m_p^2 c^2 ( 1 + \sqrt{1 + p_p^2/(m_p^2 c^2)})
|
|
|
|
|
| \displaystyle = 2 m_p^2 c^2 ( 1 + \sqrt{1 + \gamma^2 (v/c)^2}).
|
|
|
|
Efter kollisionen har vi (i vilosystemet)
|
| \displaystyle s^2(E_f/c,p_f) = E_f^2/c^2 - 0^2.
|
|
|
|
Sätter vi dessa lika kan vi lösa ut energin
|
| \displaystyle E_f=m_pc^2\sqrt{2 + 2 \sqrt{1 +
\gamma^2(v/c)^2}}
|
|
|
|
sätter vi in numeriska värden
\displaystyle v = 0.9999c och
\displaystyle m_p c^2 = 0.9383 GeV
får vi
|
| \displaystyle E_f = m_p c^2 \sqrt{2 + 2 \sqrt{1 +
0.9999^2/(1-0.9999^2)}} = 11.24 GeV
|
|
|
|
vilket inte räcker för att skapa en
\displaystyle Z_0-partikel.
